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量化分析师的Python日记【第7天：Q Quant 之初出江湖】

来源：https://uqer.io/community/share/5514fc98f9f06c8f33904449

通过前几日的学习，我们已经熟悉了Python中一些常用数值计算库的用法。本篇中，作为Quant中的Q宗（P Quant 和 Q Quant 到底哪个是未来？)，我们将尝试把之前的介绍的工具串联起来，小试牛刀。

您将可以体验到：

如何使用python内置的数学函数计算期权的价格；

利用 numpy 加速数值计算；

利用 scipy 进行仿真模拟；

使用 scipy 求解器计算隐含波动率；

穿插着，我们也会使用matplotlib绘制精美的图标。

1. 关心的问题

我们想知道下面的一只期权的价格：

当前价 spot : 2.45
行权价 strike: 2.50
到期期限 maturity : 0.25
无风险利率 r : 0.05
波动率 vol : 0.25

关于这样的简单欧式期权的定价，有经典的Black - Scholes [1] 公式：

其中S为标的价格，K为执行价格，r为无风险利率，τ=T−t为剩余到期时间。 N(x)为标准正态分布的累积概率密度函数。Call(S,K,r,τ,σ)为看涨期权的价格。

# 参数
spot = 2.45
strike = 2.50
maturity = 0.25
r = 0.05
vol = 0.25

观察上面的公式，需要使用一些数学函数，我们把它分为两部分：

log,sqrt,exp，这三个函数我们可以从标准库math中找到
标准正态分布的累计概率密度函数，我们使用scipy库中的stats.norm.cdf函数

# 基于Black - Scholes 公式的期权定价公式
from math import log, sqrt, exp
from scipy.stats import norm

def call_option_pricer(spot, strike, maturity, r, vol):

    d1 = (log(spot/strike) + (r + 0.5 * vol *vol) * maturity) / vol / sqrt(maturity)
    d2 = d1 - vol * sqrt(maturity)

    price = spot * norm.cdf(d1) - strike * exp(-r*maturity) * norm.cdf(d2)
    return price

我们可以使用这个函数计算我们关注期权的结果：

print '期权价格 : %.4f' % call_option_pricer(spot, strike, maturity, r, vol)

期权价格 : 0.1133

2. 使用numpy加速批量计算

大部分的时候，我们不止关心一个期权的价格，而是关心一个组合（成千上万）的期权。我们想知道，随着期权组合数量的增长，我们计算时间的增长会有多块？

2.1 使用循环的方式

import time
import numpy as np

portfolioSize = range(1, 10000, 500)
timeSpent = []

for size in portfolioSize:
    now = time.time()
    strikes = np.linspace(2.0,3.0,size)
    for i in range(size):
        res = call_option_pricer(spot, strikes[i], maturity, r, vol)
    timeSpent.append(time.time() - now)

从下图中可以看出，计算时间的增长可以说是随着组合规模的增长线性上升。

from matplotlib import pylab
import seaborn as sns
font.set_size(15)
sns.set(style="ticks")
pylab.figure(figsize = (12,8))
pylab.bar(portfolioSize, timeSpent, color = 'r', width =300)
pylab.grid(True)
pylab.title(u'期权计算时间耗时（单位：秒）', fontproperties = font, fontsize = 18)
pylab.ylabel(u'时间（s)', fontproperties = font, fontsize = 15)
pylab.xlabel(u'组合数量', fontproperties = font, fontsize = 15)

<matplotlib.text.Text at 0xdbad950>

2.2 使用`numpy`向量计算

numpy的内置数学函数可以天然的运用于向量：

sample = np.linspace(1.0,100.0,5)
np.exp(sample)

array([  2.71828183e+00,   1.52434373e+11,   8.54813429e+21,
         4.79357761e+32,   2.68811714e+43])

利用 numpy 的数学函数，我们可以重写原先的计算公式 call_option_pricer，使得它接受向量参数。

# 使用numpy的向量函数重写Black - Scholes公式
def call_option_pricer_nunmpy(spot, strike, maturity, r, vol):

    d1 = (np.log(spot/strike) + (r + 0.5 * vol *vol) * maturity) / vol / np.sqrt(maturity)
    d2 = d1 - vol * np.sqrt(maturity)

    price = spot * norm.cdf(d1) - strike * np.exp(-r*maturity) * norm.cdf(d2)
    return price

timeSpentNumpy = []
for size in portfolioSize:
    now = time.time()
    strikes = np.linspace(2.0,3.0, size)
    res = call_option_pricer_nunmpy(spot, strikes, maturity, r, vol)
    timeSpentNumpy.append(time.time() - now)

再观察一下计算耗时，虽然时间仍然是随着规模的增长线性上升，但是增长的速度要慢许多：

pylab.figure(figsize = (12,8))
pylab.bar(portfolioSize, timeSpentNumpy, color = 'r', width = 300)
pylab.grid(True)
pylab.title(u'期权计算时间耗时（单位：秒）- numpy加速版', fontproperties = font, fontsize = 18)
pylab.ylabel(u'时间（s)', fontproperties = font, fontsize = 15)
pylab.xlabel(u'组合数量', fontproperties = font, fontsize = 15)

<matplotlib.text.Text at 0xe0ba090>

让我们把两次计算时间进行比对，更清楚的了解 numpy 计算效率的提升！

fig = pylab.figure(figsize = (12,8))
ax = fig.gca()
pylab.plot(portfolioSize, np.log10(timeSpent), portfolioSize, np.log(timeSpentNumpy))
pylab.grid(True)
from matplotlib.ticker import FuncFormatter
def millions(x, pos):
    'The two args are the value and tick position'
    return '$10^{%.0f}$' % (x)
formatter = FuncFormatter(millions)
ax.yaxis.set_major_formatter(formatter)
pylab.title(u'期权计算时间耗时（单位：秒）', fontproperties = font, fontsize = 18)
pylab.legend([u'循环计算', u'numpy向量加速'], prop = font, loc = 'upper center', ncol = 2)
pylab.ylabel(u'时间（秒)', fontproperties = font, fontsize = 15)
pylab.xlabel(u'组合数量', fontproperties = font, fontsize = 15)

<matplotlib.text.Text at 0xe0b6390>

3. 使用`scipy`做仿真计算

期权价格的计算方法中有一类称为蒙特卡洛方法。这是利用随机抽样的方法，模拟标的股票价格随机游走，计算期权价格（未来的期望）。假设股票价格满足以下的随机游走：

仿真的方法可以模拟到期日的股票价格

这里的z是一个符合标准正态分布的随机数。这样我们可以计算最后的期权价格：

标准正态分布的随机数获取，可以方便的求助于 scipy 库：

import scipy
scipy.random.randn(10)

array([ 0.36802702,  1.09560268, -1.0235275 ,  0.15722882,  0.83718188,
       -0.27193135, -0.03485659,  1.02705248,  0.69479874, -0.35967107])

pylab.figure(figsize = (12,8))
randomSeries = scipy.random.randn(1000)
pylab.plot(randomSeries)
print u'均  值：%.4f' % randomSeries.mean()
print u'标准差：%.4f' % randomSeries.std()

均  值：0.0336
标准差：0.9689

结合 scipy numpy 我们可以定义基于蒙特卡洛的期权定价算法。

# 期权计算的蒙特卡洛方法
def call_option_pricer_monte_carlo(spot, strike, maturity, r, vol, numOfPath = 5000):
    randomSeries = scipy.random.randn(numOfPath)
    s_t = spot * np.exp((r - 0.5 * vol * vol) * maturity + randomSeries * vol * sqrt(maturity))
    sumValue = np.maximum(s_t - strike, 0.0).sum()
    price = exp(-r*maturity) * sumValue / numOfPath
    return price

print '期权价格（蒙特卡洛） : %.4f' % call_option_pricer_monte_carlo(spot, strike, maturity, r, vol)

期权价格（蒙特卡洛） : 0.1102

我们这里实验从1000次模拟到50000次模拟的结果，每次同样次数的模拟运行100遍。

pathScenario = range(1000, 50000, 1000)
numberOfTrials = 100

confidenceIntervalUpper = []
confidenceIntervalLower = []
means = []

for scenario in pathScenario:
    res = np.zeros(numberOfTrials)
    for i in range(numberOfTrials):
        res[i] = call_option_pricer_monte_carlo(spot, strike, maturity, r, vol, numOfPath = scenario)
    means.append(res.mean())
    confidenceIntervalUpper.append(res.mean() + 1.96*res.std())
    confidenceIntervalLower.append(res.mean() - 1.96*res.std())

蒙特卡洛方法会有收敛速度的考量。这里我们可以看到随着模拟次数的上升，仿真结果的置信区间也在逐渐收敛。

pylab.figure(figsize = (12,8))
tabel = np.array([means,confidenceIntervalUpper,confidenceIntervalLower]).T
pylab.plot(pathScenario, tabel)
pylab.title(u'期权计算蒙特卡洛模拟', fontproperties = font, fontsize = 18)
pylab.legend([u'均值', u'95%置信区间上界', u'95%置信区间下界'], prop = font)
pylab.ylabel(u'价格', fontproperties = font, fontsize = 15)
pylab.xlabel(u'模拟次数', fontproperties = font, fontsize = 15)
pylab.grid(True)

4. 计算隐含波动率

作为BSM期权定价最重要的参数，波动率σ是标的资产本身的波动率。是我们更关心的是当时的报价所反映的市场对波动率的估计，这个估计的波动率称为隐含波动率（Implied Volatility）。这里的过程实际上是在BSM公式中，假设另外4个参数确定，期权价格已知，反解σ:

由于对于欧式看涨期权而言，其价格为对应波动率的单调递增函数，所以这个求解过程是稳定可行的。一般来说我们可以类似于试错法来实现。在scipy中已经有很多高效的算法可以为我们所用，例如Brent算法:

# 目标函数，目标价格由target确定
class cost_function:
    def __init__(self, target):
        self.targetValue = target

    def __call__(self, x):
        return call_option_pricer(spot, strike, maturity, r, x) - self.targetValue

# 假设我们使用vol初值作为目标
target = call_option_pricer(spot, strike, maturity, r, vol)
cost_sampel = cost_function(target)

# 使用Brent算法求解
impliedVol = brentq(cost_sampel, 0.01, 0.5)

print u'真实波动率： %.2f' % (vol*100,) + '%'
print u'隐含波动率： %.2f' % (impliedVol*100,) + '%'

真实波动率： 25.00%
隐含波动率： 25.00%

{% endraw %}

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