量化分析师的Python日记【第8天 Q Quant兵器谱之函数插值】

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在本篇中，我们将介绍Q宽客常用工具之一：函数插值。接着将函数插值应用于一个实际的金融建模场景中：波动率曲面构造。

通过本篇的学习您将学习到：

如何在scipy中使用函数插值模块：interpolate；

波动率曲面构造的原理；

将interpolate运用于波动率曲面构造。

1. 如何使用`scipy`做函数插值

函数插值，即在离散数据的基础上补插连续函数，估算出函数在其他点处的近似值的方法。在scipy中，所有的与函数插值相关的功能都在scipy.interpolate模块中

from scipy import interpolate
dir(interpolate)[:5]

['Akima1DInterpolator',
 'BPoly',
 'BarycentricInterpolator',
 'BivariateSpline',
 'CloughTocher2DInterpolator']

作为介绍性质的本篇，我们将只关注interpolate.spline的使用，即样条插值方法：

xk离散的自变量值，为序列
yk对应xk的函数值，为与xk长度相同的序列
xnew需要进行插值的自变量值序列
order样条插值使用的函数基德阶数，为1时使用线性函数

print interpolate.spline.__doc__

Interpolate a curve at new points using a spline fit

Parameters
----------
xk, yk : array_like
    The x and y values that define the curve.
xnew : array_like
    The x values where spline should estimate the y values.
order : int
    Default is 3.
kind : string
    One of {'smoothest'}
conds : Don't know
    Don't know

Returns
-------
spline : ndarray
    An array of y values; the spline evaluated at the positions `xnew`.

1.1 三角函数（`np.sin`）插值

一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：

假设我们已经观测到的f(x)在离散点x=(1,3,5,7,9,11,13)的值：

import numpy as np
from matplotlib import pylab
import seaborn as sns
font.set_size(20)
x = np.linspace(1.0, 13.0, 7)
y = np.sin(x)
pylab.figure(figsize = (12,6))
pylab.scatter(x,y, s = 85, marker='x', color = 'r')
pylab.title(u'$f(x)$离散点分布', fontproperties = font)

<matplotlib.text.Text at 0x142cafd0>

首先我们使用最简单的线性插值算法，这里面只要将spline的参数order设置为1即可：

xnew = np.linspace(1.0,13.0,500)
ynewLinear = interpolate.spline(x,y,xnew,order = 1)
ynewLinear[:5]

array([ 0.84147098,  0.83304993,  0.82462888,  0.81620782,  0.80778677])

复杂一些的，也是spline函数默认的方法，即为样条插值，将order设置为3即可：

最后我们获得真实的sin(x)的值：

ynewReal = np.sin(xnew)
ynewReal[:5]

array([ 0.84147098,  0.85421967,  0.86647437,  0.87822801,  0.88947378])

让我们把所有的函数画到一起，看一下插值的效果。对于我们这个例子中的目标函数而言，由于本身目标函数是光滑函数，则越高阶的样条插值的方法，插值效果越好。

pylab.figure(figsize = (16,8))
pylab.plot(xnew,ynewReal)
pylab.plot(xnew,ynewLinear)
pylab.plot(xnew,ynewCubicSpline)
pylab.scatter(x,y, s = 160, marker='x', color = 'k')
pylab.legend([u'真实曲线', u'线性插值', u'样条插值', u'$f(x)$离散点'], prop = font)
pylab.title(u'$f(x)$不同插值方法拟合效果：线性插值 v.s 样条插值', fontproperties = font)

<matplotlib.text.Text at 0x1424cd50>

2. 函数插值应用 —— 期权波动率曲面构造

市场上期权价格一般以隐含波动率的形式报出，一般来讲在市场交易时间，交易员可以看到类似的波动率矩阵（Volatilitie Matrix):

import pandas as pd
pd.options.display.float_format = '{:,>.2f}'.format
dates = [Date(2015,3,25), Date(2015,4,25), Date(2015,6,25), Date(2015,9,25)]
strikes = [2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6]
blackVolMatrix = np.array([[ 0.32562851,  0.29746885,  0.29260648,  0.27679993],
                  [ 0.28841840,  0.29196629,  0.27385023,  0.26511898],
                  [ 0.27659511,  0.27350773,  0.25887604,  0.25283775],
                  [ 0.26969754,  0.25565971,  0.25803327,  0.25407669],
                  [ 0.27773032,  0.24823248,  0.27340796,  0.24814975]])
table = pd.DataFrame(blackVolMatrix * 100, index = strikes, columns = dates, )
table.index.name = u'行权价'
table.columns.name = u'到期时间'
print u'2015年3月3日10时波动率矩阵'
table

2015年3月3日10时波动率矩阵

到期时间	March 25th, 2015	April 25th, 2015	June 25th, 2015	September 25th, 2015
行权价
2.20	32.56	29.75	29.26	27.68
2.30	28.84	29.20	27.39	26.51
2.40	27.66	27.35	25.89	25.28
2.50	26.97	25.57	25.80	25.41
2.60	27.77	24.82	27.34	24.81

交易员可以看到市场上离散值的信息，但是如果可以获得一些隐含的信息更好：例如，在2015年6月25日以及2015年9月25日之间，波动率的形状会是怎么样的？

2.1 方差曲面插值

我们并不是直接在波动率上进行插值，而是在方差矩阵上面进行插值。方差和波动率的关系如下：

所以下面我们将通过处理，获取方差矩阵（Variance Matrix):

evaluationDate = Date(2015,3,3)
ttm = np.array([(d - evaluationDate) / 365.0 for d in dates])
varianceMatrix = (blackVolMatrix**2) * ttm
varianceMatrix

array([[ 0.00639109,  0.0128489 ,  0.02674114,  0.04324205],
       [ 0.0050139 ,  0.01237794,  0.02342277,  0.03966943],
       [ 0.00461125,  0.01086231,  0.02093128,  0.03607931],
       [ 0.00438413,  0.0094909 ,  0.02079521,  0.03643376],
       [ 0.00464918,  0.00894747,  0.02334717,  0.03475378]])

这里的值varianceMatrix就是变换而得的方差矩阵。

下面我们将在行权价方向以及时间方向同时进行线性插值，具体地，行权价方向：

时间方向：

这个过程在scipy中可以直接通过interpolate模块下interp2d来实现：

ttm 时间方向离散点
strikes 行权价方向离散点
varianceMatrix 方差矩阵，列对应时间维度；行对应行权价维度
kind = 'linear' 指示插值以线性方式进行

interp = interpolate.interp2d(ttm, strikes, varianceMatrix, kind = 'linear')

返回的interp对象可以用于获取任意点上插值获取的方差值：

interp(ttm[0], strikes[0])

array([ 0.00639109])

最后我们获取整个平面上所有点的方差值，再转换为波动率曲面。

sMeshes = np.linspace(strikes[0], strikes[-1], 400)
tMeshes = np.linspace(ttm[0], ttm[-1], 200)
interpolatedVarianceSurface = np.zeros((len(sMeshes), len(tMeshes)))
for i, s in enumerate(sMeshes):
    for j, t in enumerate(tMeshes):
        interpolatedVarianceSurface[i][j] = interp(t,s)

interpolatedVolatilitySurface = np.sqrt((interpolatedVarianceSurface / tMeshes))
print u'行权价方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 0)
print u'到期时间方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 1)

行权价方向网格数： 400
到期时间方向网格数： 200

选取某一个到期时间上的波动率点，看一下插值的效果。这里我们选择到期时间最近的点：2015年3月25日：

pylab.figure(figsize = (16,8))
pylab.plot(sMeshes, interpolatedVolatilitySurface[:, 0])
pylab.scatter(x = strikes, y = blackVolMatrix[:,0], s = 160,marker = 'x', color = 'r')
pylab.legend([u'波动率（线性插值）', u'波动率（离散）'], prop = font)
pylab.title(u'到期时间为2015年3月25日期权波动率', fontproperties = font)

<matplotlib.text.Text at 0xea27f90>

最终，我们把整个曲面的图像画出来看看：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm

maturityMesher, strikeMesher = np.meshgrid(tMeshes, sMeshes)
pylab.figure(figsize = (16,9))
ax = pylab.gca(projection = '3d')
surface = ax.plot_surface(strikeMesher, maturityMesher, interpolatedVolatilitySurface*100, cmap = cm.jet)
pylab.colorbar(surface,shrink=0.75)
pylab.title(u'2015年3月3日10时波动率曲面', fontproperties = font)
pylab.xlabel("strike")
pylab.ylabel("maturity")
ax.set_zlabel(r"volatility(%)")

<matplotlib.text.Text at 0x14e03050>

我们一直在努力

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